谈数学教学的课型特点和课内师生的教学行为

如何理解数学教学的课型分类，结合教学实践、归纳、总结各种课型的特点和规律，是优化课堂教学的重要课题。
　　一、关于中学数学教学的课型分类

　　在数学教学中，因不同的教材内容而有不同的教学任务，使用不同的教法手段，以及不同的学法，由此产生了不同的课型。

　　目前对课型的分类方法，大致有以下几种：

　　1.按上课的形式来划分。有讲授课、自学辅导课、练习课、活动课、实验（实践操作）课、电教课等。

　　2.按上课的教学任务来划分。有两种方法：

　　其一，以教学任务的特征来划分，有：新授课（突出新课教学任务）、练习课、复习课、讲评课、实验课等。

　　其二、以教学任务内容的多寡把课型模糊地划分为两大类：单一课（指在一节课内仅完成一个教学任务的课）和综合课（指在一节课内要完成两个或两个以上教学任务的课）。

　　3.按上课的教法进行划分。就启式教学法而言，有：讲述型、探索型、能力型等几种课型。

　　4.按上课时学生的学法进行划分。把“数学学习”大致分成以下五类：

　　（1）代表学习——指学习数学学科中单个符号或一组符号的意义及其使用方法。也就是学习数学词汇、语言等，形成数学思维的一种特殊的表达形式，掌握数学学科特有的“世界语”。

　　（2）概念学习——指掌握同类事物的共同的本质特征的过程。形成准确的抽象的数学概念，有利于数、式、形之间的相互联系和沟通。

　　（3）命题学习——指掌握几个概念所构成的复合含义的过程。其主要内容包含定理、公式、法则等，以形成学科基本能力和良好的思维品质。

　　（4）解决问题学习——以上列三个“学习”为基础，掌握处于不同情境下解决各类数学问题的对策、方法及思路的过程。以形成计算能力、分析和解决问题的能力。

　　（5）内化学习——指对过去的某一阶段内所学的知识，进行重新整理、组合、构筑自己新知识结构，形成有序的检索系统的过程。

基于以上的数学学习分类，我们可以对中学数学教学的课型作这样的分类：

①概念课：以学生进行“代表学习”、“概念学习”为主的课。

②公式、定理课（命题课）：以学生进行“命题学习”为主的课。

③例、习题课（解题课）：以学生进行“解决问题学习”为主的课。

④复习课：以学生进行“内化学习”为主的课。

⑤讲评课：作为对上述几类“学习”的一种补充，强化学习反馈信息，培养学生能对自己的五类“学习”及时调控，以利于及时矫正和巩固知识。为转入下一个环节学习作准备的课（实质上也是“内化学习”的一个组成部分）。

　　目前，《基础教育课程改革纲要（试行）》和《数学课程标准（实验稿）》提出 “研究性学习”（高中）这种“学习”，其中对“研（探）究性学习”的要求和实施，与一般的概念课、解题课有明显的不同，更强调把实际问题数学化；通过对数学问题的研究、探索，在解决问题的过程中学习书本上没有的知识，强调全员参与，在实际中“用数学”、“学数学”。随着对“纲要”和“标准”的执行和实施，课堂教学改革的深化，将会出现一个全新的课型——研（探）究性课型。对这种新课型，还有待进一步研究和探讨。

　　以学生的数学学习分类为基础去划分数学课的课型，其优点是：（1）能较准确地提示学生的课内“学习“的主要属性；（2）能较好地体现数学科自身的教学特点；（3）能与数学学科知识的三大主干——数学概念、数学命题、数学问题和思想方法，紧密地联系起来，以利于对这三大主干的教法、学法进行探讨研究；（4）能体现正确的教学观，体现主体性教育观念，体现课堂教学以学生为主体，教师为主导的思想，利于结合学生对不同知识的学习心理开展课堂教学改革的研究。

随着学习数学知识的逐步深入，知识抽象程度的不断提高，以及学生的学习心理特征随年龄的增长而变化，在一节课内进行某一类型的“学习”活动的机会也随之增加。所以，越往高年级，数学课课型分类愈显得合理也愈显出其优越性。然而，对于较低年级的数学课，在四十五分钟内，学生往往并非完全进行着单一的某类“学习”活动，这更要求执教者根据本节的数学目标，并按照教材内容的特点、学生年龄心理特征和知识水平等诸方面的因素采用不同的课型组合，并力求达到一节课的整体最优化，以提高每节课的教学质量。

二、五种基本课型的特点

　　1.概念课

　　（1）该课型体现学生的学习活动是在进行“代表学习”和“概念学习”。通过“概念学习”，把作为新知识中的概念，正确地初步地转化为学生自身认知结构的概念体系里的概念。通过“代表学习”，对概念的文字、语言叙述或概念的定义能初步理解，掌握这些数学概念所对应的数学符号及这些符号的书写、使用方法。初步了解由这些数学符号组成的语言含义，并能初步把它转译成一般语言。

　　（2）通过各种数学形式、手段，把主要的力量，最佳的教学时间用在揭示和概括研究对象本质属性的过程上。引导学生把握准某类事物的共同属性的关键特征。解决好概念的“内涵”与“外延”的认识和理解。

　　（3）概念课应注意直观教学。让学生了解研究对象，多采用语言直观、教具直观、情境直观、电化直观等教学手段，引导学生从具体到抽象，经概括和整理之后形成新的概念，或从旧概念的发展中形成新概念。

（4）概念课应解决学生“概念学习”中的几个问题：

①对每一个数学概念，都应该准确地给它下定义。对一些基本（原始）概念，不宜定义的也应给予清晰准确的“描述”。通过给概念下定义的教学，让学生从定义的表达形式及逻辑思维中去领会该事物与其它事物的根本区别。并注意对同一概念的下定义的不同方案，从而深化对概念的理解。
    ②对概念（定义）的理解必须克服形式主义。课内应通过大量的正、反实例，变式等，反复地让学生进行分析、比较、鉴别、归纳，使之与邻近概念不至混淆，并要解决好新旧概念的相互干扰。
    ③概念教学还必须认真解决“语言文字”与“数学符号、式子”之间的互译问题，为以后在数、式运算中应用数学概念指导运算打下基础。使学生把代表某一概念的数学符号与概念内涵直接挂钩。
     ④克服学生普遍存在的“学数学只管计算，何必花时间学概念”之类的错误认识。重视概念课教学的启发性和艺术性，重视创设情境，激发学习兴趣，引导学生对概念学习的高度重视。同时应采用多种形式的训练（如选择答案、填空、变式等），从多个侧面去加深对概念的理解与应用。

　　2.公式、定理课（命题课）

　　（1）该课型应体现学生的学习活动是在进行“命题学习”。通过“命题学习”，进一步了解概念与概念之间的内在联系及其演绎规律，掌握几个概念之间所存在某些定律或联系法则。

　　（2）公式、定理课应通过各种有效的教学手段，把主要的精力和时间用在公式、定理推导、证明的全过程上。让学生记住某一个公式、某一定理并非命题课的最终目的。命题课要达到的教学目的是：揭示公式、定理的来龙去脉，揭示其推导、论证中所用的有代表性的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧；交待清楚公式、定理适应的范围及成立的特定条件，理解由某一条件下所得出的必然结论。

　　（3）公式、定理课应让学生准确地掌握命题的条件部分和结论部份，了解公式、定理中诸条件的性质和作用，掌握公式变形的各种形式。

　　（4）公式、定理课的教学应解决学生在“命题学习”中的几个问题：

①培养学生从实际事物中发现和提出数学问题，或从已有的数学知识中提出新的数学问题的创造性思维能力，逐步提高学生从实际（或旧知识）中“类比猜想”、“归纳概括”以及“推理论证”，最后得出“结论”的从感性到理性的抽象思维能力。
     ②克服“只重视结论及结论的套用，不重视推导过程”的命题学习心理，以及克服“只强调死记结论，不重视知识形成过程”的急功近利的“结论式”的命题教学心理。
     ③要解决好对公式、定理的记忆方法问题。可在理解记忆、口诀记忆、形象（图形）记忆、表格记忆、类比记忆、逻辑记忆、分类记忆这些记忆方法中，引导学生选取自己适用的记忆方法，与学习上的遗忘作斗争。
     ④解决好命题、定理、公式、法则等数学原理从文字到数式之间的互译。

　　3.例、习题课（解题课）

　　（1）该课型应体现学生的学习活动是在进行“解决问题学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本的公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决当前问题的方法，并加以比较，择优。

　　（2）例、习题课的教学过程应着力展现解题思维的全过程，充分发掘数学教材中没有具体表述的能力、智力的教育因素，注意对解题策略、思维方法、解题技巧等进行分类、归纳、评价。

　　（3）根据例、习题的难度、学生的知识基础及思维能力水平，铺设合适的梯度，设计好同类知识的训练题组。

　　（4）例、习题课的教学，应让师生共同交流解题思维的全过程，引导学生自己动脑、动手、动口，积极参与解题教学活动；引导学生自我评价、优化解题思路，改进解题策略，从而寻求最优的解题方法。

（5）例、习题课应解决学生在“解决问题学习”中的几个问题：

①对教材中的例、习题必须引导学生认真过好“审题”关；对实际碰到的数学问题，更要解决好“抽象成数学模型”这个问题。学会“审题”，是“解决问题学习”的第一步。
审题——包括读题、识题和剖析。先要读懂题，然后把题目的文字叙述准确地转译为图式、换成数学符号的表达形式，进而剖析题目的已知条件（尤其要注意隐含的已知条件），求解问题的实质。剖析的过程也是一个思考问题、解决问题的过程，可借助图形、数量关系、表格等形式来进行剖析。同时，要让学生掌握“分析法”、“综合法”、“数形结合法”、“特殊与一般思考”、“反证法”等思维方法，自己开动脑筋，独立解决问题。即使是例题，也不宜由教师一讲到底，包办代替。
    ②例、习题课应力求举一反三，力戒“题海战术”，并注意归纳、分类整理有关的解题规律与解题思路。恰当运用“题组”有序地进行训练，扎扎实实地提高学生的解题能力。
    ③认真抓好学生解题书写的规范化。老师的板演首先要规范化、格式化，对学生的练习要严格要求，并持之以恒。
    ④注意引导学生学会自我评价，优化自己的解题思路和解题策略，鼓励创新思维，培养创新意识。

改造我们的数学问题。优秀的学校和教师都应该有自己的编制的问题.情景题, 开放题, 应用题.如数学作文:（荷兰）甲离学校10公里， 乙离甲3公里， 问乙离学校几公里.

目的是训练学生的表示能力。甲、乙、学校在一条直线上 没有说。

如设计一花坛， 使它的面积为矩形场地的一半。要求美观。

这是数学和艺术相结合的开放题。 开放度极大。

4.复习课

　　（1）尽管复习课按不同的教学时期、教学阶段而有不同的复习形式，但都有其共同的特征：它所围绕的教学内容是学生过去学过的或曾经学过的知识。因此，复习课与前三种课型有着根本的区别。复习课应突出学生的学习活动是以“内化学习”为主要特征的，对已经学过的知识，重新回顾、梳理综合，结构重组，构建知识框架，形成自我知识体系。

　　（2）针对性——一是针对所要复习内容的特点，设计复习的方式方法。二是针对“学情”，根据学生知识、技能的掌握状况及遗忘缺漏情况，确定复习的重点和难点，根据学生的智力水平，精心编选富有启发性、典型性的训练题目。

　　（3）形式的多样性——复习课的功能是：查缺补漏、矫正偏差、防止误解；归纳梳理、形成知识网格；概括提高、综合拓展、灵活运用，最终落实于提高学生的数学思维品质和解决问题的能力。这多项的功能，随复习的侧重不同，可有多种多样的复习形式。常见的有：单元（章）系统复习课、题组引导复习课、专题讲座复习课、质疑解难复习课等。

（4）复习课还应体现以下一些特点：

①复习课更应突出以学生为主体，要创造的机会让每一个学生充分发表自己的见解，让学生自己去动口、动手、动脑，通过学习活动，达到复习的目标，使知识得以“升华”。
    ②充分发挥教师的主导作用。应体现在：复习目标制订的针对性，复习设问的启发性，复习中发现问题的敏感性，分析问题的深刻性，解决问题思维的灵活性，归纳知识的系统性，小结概括的准确性，教学语言的艺术性，以及板书的清晰与和谐的数学美感……使学生在新的情境下饶有趣味地再一次学习他们已经学过的知识。所以复习课的成功与否，直接反映出执教者的专业功底和教学艺术的造诣。
    ③不同阶段的复习课，由于复习内容的多寡，在组织形式及安排上也有各自的特点。比如单元复习，由于内容较少，而且学生刚刚学完，则大都突出“以复习提纲作引导，自学梳理归纳作前提，通过复习巩固提高，在较短课时内完成”的特点。而毕业班的毕业升学总复习，由于多门学科和内容较多，学生对旧知识的遗忘也大，这类复习课则多以分段进行：第一段为全面复习，唤起记忆，初步梳理；第二段为重点复习，侧重归纳和知识的沟通；第三段是模拟测评及专题讲座，强化综合运用知识的能力。

　　5.讲评课

　　（1）讲评课是学生继续学习过程中的一个“加油站”、“休整期”，所以“及时矫正错漏”、“增强学习自信心”是讲评课的教学目的和特点。

　　（2）讲评课是师生教学双方的一个“反馈——矫正”的过程。要及时地准确获取学生学习的反馈信息，选取的“信息”是否具有普遍性和代表性，是讲评课能否成功的前提。

　　（3）讲评课是上述四种课型的补充。它既要“评”，也要“讲”。“评”——既要评“不足”、评“偏差”与“误解”；又要评“好”的，要评出方向，评出信心，充分调动积极因素，以利于学生继续学习。“讲”——要讲清楚错在哪里，产生错误的原因（有些错误是老师教学中的失误或忽视而造成的），克服错误的方法以及预防的措施。还应注意总结规律和方法。

（4）讲评课中，评讲的材料（教学内容）主要来源于本班学生的习作。“习作”应包括：学生完成的堂上练习、课外作业、测验和考试试卷等。对堂上练习、课外作业应平时作好评改记录，试卷要整理、归类好，选材要力求全面，正、误应兼顾，才有利于总结“得”与“失”。
   （5）针对性特强是讲评课的又一特点。由于“材料”来源于学生自身，学生的反应是最强烈的，它最容易产生“顿悟效应”，所以一节好的讲评课，往往是事半功倍的。仅把练习、习题或试题由教师重新解一遍，这不算讲评课。

三、五种基本课型中师生的教学行为

　　1.概念课

【教师教学行为】

（1）上好一节概念课，应体现该课型一般的课堂结构：概念课教学应遵循学生认知心理规律的四个发展层次：“感觉——知觉——观念（表象）——概念”。教学的各个环节安排应有利于这认知心理规律的四种形态的发展和不同层次的认知需要。
  （2）概念课教学应遵循如下的“教学控制框图”：概念课对新概念的引出或归纳，应遵循数学概念发生的自身规律。中学数学的概念，往往以一些已有的概念为基础 去建立、形成的，其方式有“概念的限定”和“概念的概括”两种。前者采取逐步增加概念的内涵同时缩小概念的外延的方法，去形成一个新的概念（如四边形的有关概念）；后者反过来把概念的内涵逐步减小，使概念的处延逐步扩大。去形成高一层次的概念（如数的概念）。概念教学应把握好这两种方式，分清本节数学应在“限定”上还是在“概括”上下功夫。
　 (3)概念教学: 淡化形式, 注重实质.下列是问题是否妥当

判断下列各例是否正确

A.（只）有一组对边平行的四边形是梯形      B. 含有未知数的（等）式子叫方程

C. （平面上）不相交的两条直线叫平行线。   D.平行四边形也是梯形，有何不可

E.x - x =0; 0x=0; 是方程吗

【学生学习行为】
（1）学会观察。通过观察发现共性的东西。
（2）注意理解所学概念的来龙去脉。有何背景，有哪些限制条件、哪些 特殊规定。
（3）除老师及教材所下的定义外，试试能否用自己的语言来表述。注意有没有其他等价的说法。
（4）相应的符号能否记牢，符号的读法、表示法会不会。
（5）回忆过去学过的概念中，有没有相近、相似，容易混淆的。注意它们之间的区别。
（6）根据所理解的定义，举出实际的例子。

　　 学生需要对每一个数学概念构造自己的理解， 使得"教"的作用不再是演讲、解释、或者企图去"传送"知识， 而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键，是将每一个数学概念的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话。

2.公式；定理课（命题课）

【教师教学行为】

（1）上好一节公式、定理课，应体现该课型一般的课堂结构：“引入——观察——归纳猜想——证明”。 也有开门见山的。

（2）公式、定理课的教学应遵循以下两个规律：一是以一般的原理为前提，推求到某个特殊场合作出新的结论的演绎推理规律；二是以若干特殊场合中的情况为前提，推求到一个一般的原理原则作为结论的归纳推理规律。
　　（3）公式、定理课遵循如下的“教学控制框图”：数学教材中的定理、公式是一个知识体系。在公式、定理课教学中，应抓住本节所讲的公式、定理在体系中的“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，由此导出和启发学生理解新的公式定理。

【学生学习行为】

（1）注意命题提出的背景和条件，思考将会产生的结论（大胆猜想），并用语言表达出来。
　　（2）敢于动脑、动手去探求验证或演绎证明。
　　（3）认真听取老师和同学的分析思路，和自己的论证设想作比较，敢于争论，并汲取最优者。
　　（4）弄懂推理论证过程中所涉及的数学思想、方法及特殊技巧。
　　（5）理解公式、定理的规定条件、结论及适用范围和功能。以典型图形表格等帮助记忆。
　　（6）对数学公式中各部分符号的含义应深刻理解，知道各部分间的内在联系，学会公式的变形。

　　　3．例、习题课（解题课）

【教师教学行为】

（1）上好一节例、习题课，应体现该课型一般的课堂结构：

（2）例、习题课遵循如下的“教学调控框图”：“序、度、势、量”即是：例习题所涉及的数学知识在学习过程中的序列；例习题的难度；学生在例习题教学中的最佳心理状态称为“势”；练习内容、学习内容的多少为量。这“序、度、势、量”必须根据大纲要求、教材内容、学生当前的知识水平和能力水平而定，并在教学过程中进行及时的调控。
　　（3）例、习题课的教学，应遵循由浅到深、由简到繁的认知规律。一般地，对例习题的设计可分四个层次：一是同情境的直接问题（指与公式、定理、法则等在相同情境下的直接应用问题）；二是不同情境的直接问题；三是不同情境下的变式问题（指对公式的变形应用、问题的变换设问、图形的变式等）；四是综合性思维发展问题（含知识的纵向、学科的横向综合）。学生的解题能力的提高，不可能一蹴而就。必须根据学生原有的认知起点，按照认知规律，有针对性地（注意因材施教）、有系统地（注意合理选择练习与例题的配搭）、有目的地做好习题训练的层次安排计划，才能有效地提高例、习题课的教学效率，提高学生的解题能力。教学中，可实行分类要求，分组练习，达到每节课不同水平的学生都学有所得，从而大面积提高教学质量。
　　（4）应用“迁移”规律，促进学生知识的掌握和技能的形成。例、习题课必须充分利用学生认知心理的“正迁移”规律。“迁移”是以原有知识、技能作前提，跟随以下三个要素而产生的：一是不同情境下的共同因素；二是知识、经验的概括水平；三是对事物、问题之间的相互关系的觉察。所以在例、习题课教学时，对不同情境下的数学问题，要紧紧抓住“共同因素”进行分析，促进“正迁移”，使学生觉得“不外如此”，达到化难为易。要抓住同类问题解题要点的概括，寻求解题规律和思路特点，达到“举一反三”的正迁移的教学效果。要抓住例习题之间的变化层次分析，揭示它们之间的相互关系，达到“触类旁通”的目的。同时要引发解答问题时的“发散性思维”，促进学生思维的发展，培养创造性思维。
　　（5）例、习题课应突出“精讲多练”。“精讲”不等于讲得越少越好；“多练”不等于盲目地练习得越多越好。教师的讲要讲到点子上，要充分展现解题的思路、方法和规律，要解惑、释疑，疏导学生在思考、解决问题中碰到的疑难，要讲清解题的规范要求。教材已经详尽叙述的简单运算过程，教师可以略讲甚致不讲。让学生看书或自行解决。例、习题课一定要留有充裕的时间让学生练习。只有经过“练”才知道学生是否真懂；只有经过“练”学生才能达到真正掌握。必须认真设计练习内容，注意练习效度。

【学生学习行为】

（1）学会审题。自己先作审题，再听听同学和老师是怎样审题，发现自己的优势与不足

（2）根据例习题所提供的信息，敢于联想、猜想：①过去有没有解决过类似的题目，新题与旧题有何异同？可否把“新”转化为“旧”？②解决问题可能要用到哪些公式、定理、法则；要用到哪些数学方法，联想已有的数学知识。③根据过去解题经验，猜想解该题第一步可以怎样入手。
  （3）重视一题多解，学会批判性学习，选取我认为最适于自己的解法和思路。
  （4）坚持独立思考，勤动脑、动手、动口，不依赖同学或老师的提示，认真思考：应该怎样解；为什么能这样解；还可以怎样解。
  （5）及时总结解题的成功与失败，学会举一反三。
  （6）注意解题过程的表述方法和书写格式的规范。

4.复习课

【教师教学行为】
（1）上好一节复习题，应体现该课型一般的课堂结构或题组式复习课结构.

（2）复习课应遵循如下的“教学控制框图”：复习课应遵循“循环出现、螺旋上升、不断深化”的认知规律。复习课中旧知识的再现不应是机械地重复，而是在旧知识的基础上进行“清理、提纯、巩固、提高”，通过复习，让学生能站在更高的层次上去重新领悟所学的知识。
  （4）针对“遗忘”的规律，恰当而适时地安排好复习课。心理学的研究表明：遗忘与外界对人脑刺激量的大小及时间的长短（远、近）是直接关系的，并且还以“遗忘曲线”形象地提示其规律。“记忆”与“遗忘”是一对矛盾。复习课正起到唤起“记忆”，增加“刺激量”，减少“遗忘”的规律，这样复习课的效率才会高。

【学生学习行为】

（1）上复习课前，必须自己先自习。根据复习提纲或老师的复习要求，对有关内容作全面回顾。忘记了的，先看看课本；不大理解的内容先作记录，做到有备而上复习课。
 （2）上复习课时，自我查缺补漏，及时弄清原来比较模糊的知识。不懂的问题应大胆发问。
 （3）可用图、表的方法，系统整理阶段性所学知识，形成自己的知识结构。
 （4）通过解综合性或应用性问题，训练解题技能，及时总结，达到提高能力。

　    5.讲评课

【教师教学行为】

（1）上好一节讲评课，应体现该课型一般的课堂结构, 应遵循教育控制论中有关“教育控制基本原理”及“反馈——控制”的有关规律，并根据反馈信息的强弱来确定是否需要安排讲评课，以达到有效地控制教学的节奏。
  （2）讲评课应充分利用学习论中关于“借鉴学习”与“榜样学习”的原则，从而调动学生的学习积极性，及时纠正学习上的错误，起到承前启后的教学转折作用。
  （3）讲评课应体现非智力因素培养的一般规律。通过讲评课让学生更主动地、充满信心地转入下一阶段的学习，而不是令学生有一种“负罪感”、“自悲感”而失去学习的信心。
  （4）讲评课应遵循“心理学”中关于思维的“发散”与“聚敛”的规律。通过一题多解，体现“发散思维”，通过比较解法优劣，注意“思维的聚敛”。以此激发学生的思维，培养良好的思维品质。逐步教会学生掌握“学习的评价”方法，把握评价的标准。

【学生学习行为】
（1）学会自我评价。明确自己的得失，树立学好数学的信心。
（2）对自己解题中出现的错误，认真分析原因，及时加以补救。
（3）凡在练习、测验、考试中做错的，都应该自己动脑重做一遍。
（4）注意汲取别人的经验，从而提高自己。

研究和探讨中学数学课的课型分类、特点及其规律的问题，是教学论中的综合性问题。它不仅受数学知识的制约，而且还涉及教育思想、教育观念、教育学、心理学、教学法与教育控制论等众多方面的理论。在当前深化教学改革，深入研究数学课型和教学模式，优化课堂教学，提高教学质量的热潮中，广泛地开展课型分类、特点及其规律的研究，无疑对提高中学数学教师的教学素质，提高数学课堂教学的效率是十分有益的。