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数 学 史 简 介
——兼中外数学家的故事——
一、数的 发 展 史
正整数
1、 正整数的形成
你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。
人类最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个国家地区都是1、2、3、4……这样的正整数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如："
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。
2、 零、分数的出现
说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现，谁也阻挡不住。现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。如：气温
除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示正整数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！正整数、分数和零，通称为算术数。正整数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
3、 无理数的发现
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然
4、 虚数的产生
在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但人们在解方程（如方程
1797年高斯给出代数基本定理的第一个证明（后又给出了四个不同的证明）。即：任何一个系数为复数的一个变量的代数方程都至少有一个根。从它可以推出：“一个n次代数方程必有且仅有n个根”，由此定理的证明，告诉我们无须把复数域扩充了，复数域是代数封闭和的。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。
二、π 的 历 史
圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。通常用希腊字母π 来表示。1706年，英国人琼斯首次创用π 代表圆周率。他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。现在π 已成为圆周率的专用符号， π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的。
在古代，实际上长期使用 π＝３这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。东汉的数学家又将 π值改为
公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π 值算到小点后第七位3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。祖冲之还找到了两个分数：22/7 和355/113 ，用分数来代替π ，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。
祖冲之的圆周率，保持了一千多年的世界记录。终于在1596年，由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π 值推到小数点后第15位小数，最后推到第35位。为了纪念他这项成就，人们在他1610年去世后的墓碑上，刻上：3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。 许多数学家都喜欢将他们的生平刻在墓碑上。
丢番图的墓志铭:
“丢番图的一生，童年占
读者只要算一算就知道丢番图活了八十四岁。
瑞士数学家雅各（贝努里家族）对对数螺线有深入的研究，他在欣赏这曲线巧妙之余，仿效阿基米德，在遗嘱中说要将对数螺线刻在墓碑上，以作永久纪念。可惜的是，1705年8月16日逝世后，可能是石匠功夫不好，墓碑上的螺线却象一根阿基米德螺线
之后，西方数学家计算 π的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出808位小数的π 值。电子计算机问世后， π的人工计算宣告结束。20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的 π，编写了一本书名叫《π》的书、整本书都是数字、成为世上最枯燥无味的一本书，70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的π 值已到4.8亿位。π 的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着技术和算法的革新。
三、数 学 发 展 过 程 的 三 次 危 机
第一次数学危机 ── 无理数的发现
大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多帕克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！
第二次数学危机 ── 无穷小是零吗 ？
18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，招之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
第三次数学危机 ── 悖论的产生
数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某乡村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：“他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸”。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
四、哥德 巴 赫 猜 想(数论)
彼得堡科学院院士哥德巴赫正在研究把任何数表示成几个质数的和的问题。哥德巴赫发现，总可以把任何一个数分解成不超过三个质数和。但他不能证明这个命题，甚至找不到证明它的方法，于是，他写信全告诉欧拉这件事。在1742年6月7日的信中，哥德巴赫告诉欧拉，他想冒险发表下面的假定；“大于5的任何数(正整数)，是三个质数的和”。欧拉回信说：他认为“每一个偶数都是两个质数的和”这论断是一个完全正确的定理。显然，哥德巴赫的断语就是欧拉这论断的简单推论（因为：奇数=3+偶数） 。然而，欧拉也不能证明它。这就是著名的哥德巴赫猜想。关于哥德巴赫问题，不论是提出问题的哥德巴赫本人还是大数学家欧位都不能做出什么结果。上世纪一个超群数学家康托耐心地试验了从2到1000的所有偶数，说明在这范围内，哥德巴赫断言是成立的，但这能说明什么呢？此后，多少著名的学者都为哥德巴赫问题花费了无数的精力，力图开辟解决这一问题的道路，或者将它与数学的其他问题联系起来。但要严格证明它，却毫无结果，1912年，数论大师兰道在国际数学家会议上说：这个问题要用近代数学工具来解决是绝对不可能的。
到二十年代初期，问题才有了一点进展，挪威数学家布朗用古老的筛法证明了：每一个偶数是九个互数因子之和加九个素数因子之积，简记为（9+9），延自这一派的方法，1924年拉德马哈尔证明了（7+7），1932年爱斯斯尔曼证明了（6+6）；1938年，布赫斯塔勃先后证明了（5+5）和（4+4）；1956年维诺格拉多夫证明的（3+3）；1958年我国数学家王元证明了（2+3）。
另一证明方法是1948年由匈牙利数学家兰恩易开辟的，他证明了每一个大偶数都是一个素数和一个“素因子示超过六个的”数之和，简记为（1+6），1962年，山东大学教授潘承洞证明了（1+5），同年，他又和王元证明了（1+4）；三年后1965年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和庞皮艾黎都证明了（1+3）。
陈景润继承了前人的结果，吸取了前人的智慧，施展了他坚韧不拔的毅力，顽强地向哥德巴赫问题挺进。为了能最快阅读最新的国久的有关资料，了解外国的新结果，他在掌握英、俄两门外语基础上，又自学了德、法、日、意和西班牙语。同时在数论方面接连攻下了三十多道难题中的六、七题，为解决哥德巴赫问题做出了必不可少的锻炼和准备。
例如他在圆内整点问题，球内整点问题，华林问题，三维除数问题上，都改进了中外数学家的结果。经过这一艰苦的历程，1966年，陈景润在《科学通报》第一十七期上发表了他已经证明（1+2）的成果。已故的著名数学家闵嗣鹤教授审核了二百多页论文手稿，确认其证明无误，但建议他加以简化，此后陈景泣不分白天黑夜，一笔又一笔推演了六麻袋稿子，经过七易寒暑，终于写出了著名的论文：“大偶数表为一个素数及一个不超过一个素数的乘积之和”，精心论证了（1+2），其中定理
陈景润为祖国增添了荣誉，他的突破为推动学林繁荣做出了极大的贡献。1978年他出席了第一届全国科学大会。先后当选为第四届、第五届人大代表为会议主席团成员。
1979年初，他和著名的拓扑学家吴文俊夫妇应美国普林斯顿高级研究所所长伍尔夫教授的邀请，前往讲学和作短期的研究工作。在那里，陈景润又利用有利条件，完成子论文《算术级数中的最小素数》，把最小素数从原来的80推进到16，这是当前世界上最新的成果，受到了国际数学界的好评。
五、数学 分 支
数学从产生、发展到现在，已成为分支众多的学科了，没有统一的分法、也没有一个统一的标准。大致可分为： 算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学 等25门学科。现将与中学数学教材有关的学科作简要的介绍。
1. 最早的数学——算术：
现代小学数学的具体内容，自然数和分数具有不同的性质，数和数之间也有不同的关系，为了计算这些数,就产生了加、减、乘、除的方法，这四种方法就是四则运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术。
2．初等代数：
初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方组成初等代数的基本内容就是：
三种数——有理数、无理数、复数
三种式——整式、分式、根式
中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。
初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同。比如，严格的说，数的概念、排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究解析几何的……。这些都只是历史上形成的一种编排方法。
初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。
这十条规则是：
五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；
两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；
三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数想乘；积的乘方等于乘方的积。
初等代数学进一步的向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了。
关于方程的解的历史：
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。
到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。
后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。
3．数学中的皇冠——数论：数论就是一门研究整数性质的学科，我国在数论方面的研究居于世界领先地位。
4．生活中的几何——欧式几何：
“几何”这个词在汉语里是“多少？”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不同了。“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术。几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源。
欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。
《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。）
欧氏几何与非欧几何（罗巴切夫斯基几何、黎曼几何）关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理（第五公设）不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。 黎曼几何讲“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”。
因此，凡涉及到平行公理的命题，欧氏几何与非欧几何有完全不同的结论。如：欧氏几何得到“三角形的内角和等于
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
6．坐标法——解析几何：
笛卡尔（Descartes, Gene）(1596.3-1650.2.11)，是法国数学家和哲学家，解析几何的创始人。从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。
7．代数几何学:
用代数的方法研究几何的思想，在继出现解析几何之后，又发展为几何学的另一个分支，这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。
8．位置几何——射影几何学：
它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。在现行高中立体几何教材中有渗透射影几何学的思想。
9．不量尺寸的几何——拓扑学：
拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。在现行高中立体几何教材中欧拉公式的推导就渗透拓扑学的思想。
10．分形几何：
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。
11．计算数学 ：
计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。对于一般的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。在现行高中数学教材中有渗透计算数学的思想。
12．微积分学：新教材高三数学中有讲到微积分的初步内容
13．概率和数理统计：新教材高三数学中有讲到概率论和数理统计的基本内容
14．数理逻辑 ：
数理逻辑包括哪些内容呢？这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。
命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑费，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数 0和 1，相当于命题演算中的“真”和“假”。
另外悖论的提出，促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题，从而产生了数理逻辑的一个重要分支—公理集合论。
在现行高一数学教材中有简易逻辑这部分内容。
15．模糊数学：
在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。于是就产生了模糊数学。
六、附录：中外数学家的故事
1．刘徽
（生卒年月不详）
刘徽是我国古代一位非常伟大的数学家，公元三世纪（公元263年）他所撰的《九章算术注》十卷与《九章重差图》一卷，是我国数学史上划时代的著作。唐代初年，《九章重差图》已失传，《九章重差图》十卷到唐代演变为《九章算术注》九卷与《海岛算经》一卷而流传至今。
刘徽完成《九章算术注》约在西晋初年。《隋书律历志》论历代量制引《九章算林》商功章注说“魏陈留王景元四年（公元263年）刘徽注九章”，可见他的注解工作可能早在魏肛已经开始。所以他是生活在魏一晋时代。
《九章算术》《约公元100年》是我国现有传本的数学著作中最早的一本，它们收集了东汉初年以前的246个问题，并按问题的性质分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。这部著作不仅对当时从事于河道、灌溉、手工业生产的工程技术人员以及收税制历的官员有很大帮助，而在世界数学史上也作出了许多有意义的贡献。
在刘徽的注解中，主要是运用齐同术、今有术、图验法、棋验法等四种方法。
“齐同术”是刘徽从《九章算术》中关于分数的加减法与方程组解法中概括出来的一种方法。
“今有术”是解决算术中有关比例问题的方法。
“图验法”是应用面积图形验证平面几何学公式与定理的方法。此外在少广章中，刘徽依靠图形的帮助，说是有了开方术原理。
“棋验法”，棋就是基本模型，用基本的立体模型验证立体几何公式与宣的方法称棋验法。此外，他不用棋的方法说明了开立方林与开方圆林的原理。
刘徽为了精密地计算圆面积，他创造了割圆术，他认为只要内接正多边形的边数愈多，则它的面积愈接近于圆的面积，这样用正多边形面积来迫近圆面积的极限思想还可在弧田术注中看到，其中有
《九章算术》商功章求圆锥和圆台的体积公式，在假定
刘徽还得出了与我们现在开平主求无理根的十进小数近似值方法完全一致的方法。另外，他在方程章直除消元法的基础上根据齐同术原则，创立了互乘相消法（即和现在解方程组的加尊消去法一致）的解方程组的方法。同时，他注意到了用比例分配的方法来争一次议程组的问题。
刘徽还给出了等差级数求和的公式：
同时他还完成了“勾股容圆公式”的证明和总结了“重差术”。
可以主刘徽在整理数学材料的工作中是有极大贡献的。它在“以类合类”的思想指导下，将246个复杂的数学问题，按期性质与解题方法分成九类，为我国数学向更高更细的方向发展打下了基础。祖冲之可能就是在他割圆术理论基础上，以圆径一丈为1，000，000，000微，算出内接正12，288边形面积，从而得到具有世界意义的圆周率。
刘徽的工作在世界数学史上也占重要地位。刘徽从事于数学理论形容比希腊学者为迟，但他的成就地超过同时代的数学家。对于圆周率的计算，他的结果比阿基米德精密。方法也比阿基米粉德优越。法国数学家谟尔提出用十进分数表示开方根的奇零数，比刘徽迟一千多年。刘徽的极限概念和一次方程组解法的消元法以及求圆锥体积的方法，在当时是居先进地位的。
刘徽的《九章算术注》的伟大历史意义，更重要的是在于它是我国独特风格的一本有系统理论的文献，为我国科学理论研究工作打下了基础。
2．祖冲之父子
祖冲之（公元429-500），字文远，是我国古代南北朝时代南朝杰出的科学家，原籍是范阳郡遒县（今河北莱源县），因战乱，他的祖先迁居江南。公元429年，祖冲之诞生在南方宋朝一个士大夫的家庭。这家有几代研究历法，祖父掌管土木建筑，也懂得一些科学技术，所以祖冲之从小就有机会接触家传的科学知识，他少年时代就开始钻研古代的经典。思想机敏。勇于创新，勤奋地学习，对各种事物敢于大胆设想，勇于创新，并且勤于实践。他搜集和阅读了大量有关天文、数学等方面的书籍与文献资料，并经常进行精密的测量和仔细的推算。就象自己说的那样；“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心军筹策”。由于他既崇尚抽象的理论，又注重理论的应用，突破了天命论、神秘主义的桎梏，敢于实践，勇于改革，因此在当时劳动人民创造的高度发达的物质财富的基础上，取得了不少有价值的科学成果，特别是天文历法和数学方面的成就更为突出。
我国古代曾经长期采用“十九年七闰月”的方法作为历法来计算阴历。祖冲之经过仔细推算和研究，发现这种历法虽然可以使两种（阴历和阳历）天数大致相符，但还不够精确，过了二百年就会相差一天。因此，他决心打破传统观念改革闰法。总结了前人经验，经反复实验，科学计算，改为第三百九十一年中有一百四十四个闰年。这样就相当精确了。他在一文历法中的另一重大成就是在历法计算中第一次应用了岁差，即指地球围绕太阳运行五周，不可能完全回到上一年的冬至点的现象。他算出了岁差为四十五年十一个月后退一度（一度等于60分），并在他的《大明历》中加以应用。虽然尚不够准确，但这在天文学史上却是一个空前的创举。为了使历法更精确，他还算出交点月，即月亮连续两次经过黄白交点所需的时间是27。21223日，这与现代测得的21。21222日极相近似。这为准确地算日食月食妇生的时间创造了条件。
在上述基础上，他制成了当时最科学的历法——《大明历》。那时他才三十三岁，公元462年，他把《大明历》交给朝廷，请求予以颁行。但遭到以贵族官僚戴法兴为首的坚决反对。戴法兴是一个很有权势的人物，又稍稍懂一点历史，但思想非常保守，戴硬说太阳转动一周（实际上是地球绕太阳一周）的时间有快有慢，没有规律。祖冲之反驳说：“太阳的转动是有一眯规律的，这是有事实根据的”。戴又说：“日月星辰的快慢变化，凡人是测算不出的”。祖冲之说“这些变化并不神秘，只要人们进行精密的观测和细致的推算，是完全可以算出来的。事实上人们已掌握了一定的规律”。把戴批驳得哑口无言，祖冲之终于击败了保守势力，取取得最后胜利，然而直到他死后十年在他儿子祖恒再三推荐下，新历法才在公元510年被正式采用。
祖冲之在数学研究方面，特别是在圆周率的研究上，做出了在数学史具有深远影响的巨磊贡献。古代最早求得的圆周率是“3”，西汉末年刘 又得到3.1547的圆周率值。东汉的张衡算出3.1622的值，到了三国末年，数学家刘徽创造了用割圆术求得圆周率方法，得出3.141024的值。祖冲之地吸收了其中一些 有的东西，又不为前人结论束缚，经过自己的精密测算，算出圆周率值在3.1415926和3.1415927之间，并以22/7和355/113作为用分数表示圆周率的疏率和密率。这是世界上第一个最精确的圆周率，欧洲人奥托和安托尼兹直到公元1573年，才先后求出这个数值。实际上早在他们一千一百多年前，祖冲之就得到这个数值了，因而，日本数学家三上义夫主张称名为“祖率”。
祖冲之在推算圆周率时，对九位数的大数目，需要反复进行包括加减乘除与开方等方法的运算五百三十次以上。而且当时他还是用筹码（小竹棍）来计算的。从这里可以看出他严谨的治学态度和坚韧不拔的毅力。
后来，祖冲之把数学上的研究成果写成一本书，叫做“缀术”，内容很丰富，可惜早已失传了。
除了在天文、历法和数学方面做出重大贡献外，在他五十岁那年，曾经仿制成功一辆指南车，这车子不管怎么转动，车上木人的手总是指着南方。他又看到群众用人力磨数值非常吃力，于是开动脑筋，反复实验，制成了水碓磨。同时还制造成功一种“千里船”，经过试验，日行百余里。此外，他还懂得音乐，注过多种经典。因而祖冲之可以说是我国古代杰出而又博学多才的一位科学家。
祖恒是祖冲之的儿子，字景烁，生卒年月已无可考。他也是一个博学多才的数学家，曾在公元504年、509年和510年三次上书建议采用祖冲之的《大明历》，终于实现了父亲的遗愿。
祖恒的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》。
祖恒推导球体积公式的方法非常巧妙，其理论依据是这样一条被他当作“公理”使用的命题：“幂势既同，则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势”是立体的高。把这命题翻译成现代汉文并写得详细一点就是：“界于二平行平面之间的确良两个立体，被任一平行这二平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等”。这命题在国外通常称为“卡瓦列利原理”或“卡瓦列利定理”。卡瓦列利（1598-1647）是意大利米兰人，伽利略的学生，波伦拿大学教授，为十七世纪意大利数学家中影响最大的一个。这定理是他于1635年在波伦拿出版的名著《连续不可分几何》一书中提出的，但却比祖恒迟了1100多年。
3．杨辉
杨辉字谦光，钱塘（今杭州）人，是我国南宋数学家。杨辉的著作集中地反映了当时一些民间应用数学的情况。南宋景定二年（1261）作了《详解九章算法》，后附《纂类》，共12卷。现在流传的只是该书的一部分。在《永乐大典》中也保存了一部分。
杨辉的《详解九章纂法类》中还记载了已失传的贾宪《黄帝九章细草》（约1200）的某些算法。贾宪化简了刘益的方法，推广到四次方程，更加接近“霍纳法”。
杨辉的《详解九章算法》载有：“开方作法本源”，并有自注：“出《释锁》算书，贾宪用此术”，这就是：
展开式各项的系数（二项系数）的排列。欧洲称“巴斯加三角形”。可是在巴斯加之前的1427年左右，阿尔·卡西已给了二项系数的一般式并加以证明，不过这些都在杨辉之后，晚266年！因此，不论称“楚辉三角”还是称“贾宪三角”都比叫“巴斯加三角”合理。
贾宪提出“开方作法本源”和“增乘开方法”是数学史上的一项伟大成就。它导致后来高次方程求实的根的一整套方法。杨辉“三角形”的图下还举了两个例题，一个是开立方问题，一个是形式四方，后者相当于解方程 。
杨辉除《详解九章算法》外，还有很丰富的著作，其中《续古摘奇算法》（1275）记载了许多当时和古代的书目。从中可窥见失传典籍的一斑。这书还列出了各式各样的纵横图（幻方），是宋代研究纵横图最重要的著作。其中还把《孙子》“物不知数”问题叫“秦王暗点兵”、“翦（同剪）管术”，将3，5，7推广到其他除数如7，8，9，11，12，13等。
杨辉在《乘除通变法》中创立了“九归”口诀，介算了筹算乘、除的各种速算法。
4，陈景润
（1933~ ）
陈景润现为中国科学院数学研究所研究员，著名数学家。1933年了生于福建。他们高中时，现在北京航空学院任副院长的沈元当时曾教过他的书，沈教授对同学们讲了哥德巴赫猜想的故事，他说，“科学的皇后是数学，数学的皇后是数论，哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠。”这些活深深地打动了青年学生陈景润的心，他立下决心要要数学。
1950年，陈景润高中没有毕业，便以同等学历考进厦门大学，改读数学专业。1953年秋天，陈景润因成绩特别优异提前毕业，分配在北京当中学数学教师。他一面教学，一面进行科学研究，这时他得到一本华罗庚教授的名著《堆垒素数论》，如获至室，刻苦攻读钻研起来，但陈景润因不善辞令，教学效果不佳，校方颇为头痛，恰好陈景润的母校校长王亚南到北京，得悉这些情况，便设法把他调回厦大，安排在图书馆当管理员，实际上是让他安心研究数学。他抓紧这样得到的宝贵时机，把《堆垒素数》和另一本华罗庚的著作《数论导引》悉心研究，很快写出了一篇名叫《他利问题》的认文。陈景润把它寄给中国科学院数学研究所，得到了华罗庚教授的重视，认为陈景润很有培养前途，便建议调他到北京数学研究所当实习研究员，1956年底，已先后写了四十多篇论文的陈景润到了科学院，开始在著名数学家华罗庚指地下专心研究数论。
关于哥德巴赫问题，不论是提出问题的哥德巴赫本人还是大数学家欧位都不能做出什么结果。上世纪一个超群数学家康托耐心地试验了从2到1000的所有偶数，说明在这范围内，哥德巴赫断言是成立的，但这能说明什么呢？此后，多少著名的学者都为哥德巴赫问题花费了无数的精力，力图开辟解决这一问题的道路，或者将它与数学的其他问题联系起来。但要严格证明它，却毫无结果，1912年，数论大师兰道在国际数学家会议上说：这个问题要用近代数学工具来解决是绝对不可能的。
到二十年代初期，问题才有了一点进展，挪威数学家布朗用古老的筛法证明了：每一个偶数是九个互数因子之和加九个素数因子之积，简记为（9+9），延自这一派的方法，1924年拉德马哈尔证明了（7+7），1932年爱斯斯尔曼证明了（6+6）；1938年，布赫斯塔勃先后证明了（5+5）和（4+4）；1956年维诺格拉多夫证明的（3+3）；1958年我国数学家王元证明了（2+3）。
另一证明方法是1948年由匈牙利数学家兰恩易开辟的，他证明了每一个大偶数都是一个素数和一个“素因子示超过六个的”数之和，简记为（1+6），1962年，山东大学教授潘承洞证明了（1+5），同年，他又和王元证明了（1+4）；三年后1965年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和庞皮艾黎都证明了（1+3）。
陈景润继承了前人的结果，吸取了前人的智慧，施展了他坚韧不拔的毅力，顽强地向哥德巴赫问题挺进。为了能最快阅读最新的国久的有关资料，了解外国的新结果，他在掌握英、俄两门外语基础上，又自学了德、法、日、意和西班牙语。同时在数论方面接连攻下了三十多道难题中的六、七题，为解决哥德巴赫问题做出了必不可少的锻炼和准备。
例如他在圆内整点问题，球内整点问题，华林问题，三维除数问题上，都改进了中外数学家的结果。经过这一艰苦的历程，1966年，陈景润在《科学通报》第一十七期上发表了他已经证明（1+2）的成果。已故的著名数学家闵嗣鹤教授审核了二百多页论文手稿，确认其证明无误，但建议他加以简化，此后陈景泣不分白天黑夜，一笔又一笔推演了六麻袋稿子，经过七易寒暑，终于写出了著名的论文：“大偶数表为一个素数及一个不超过一个素数的乘积之和”，精心论证了（1+2），其中定理
陈景润为祖国增添了荣誉，他的突破为推动学林繁荣做出了极大的贡献。1978年他出席了第一届全国科学大会。先后当选为第四届、第五届人大代表为会议主席团成员。
1979年初，他和著名的拓扑学家吴文俊夫妇应美国普林斯顿高级研究所所长伍尔夫教授的邀请，前往讲学和作短期的研究工作。在那里，陈景润又利用有利条件，完成子论文《算术级数中的最小素数》，把最小素数从原来的80推进到16，这是当前世界上最新的成果，受到了国际数学界的好评。
5．华罗庚
（1910— ）
华罗庚教授是我国著名的数学家，现任中国科学院数学研究所所长，中国数学会理事长。
华罗庚1910年生于江苏金坛县，父亲是个小杂货商。他初二时曾补考过数学，但或许这给予他以刺激而促使他历志钻研数学，以至于今天能有这么大的成就吧。他初中毕业后，进入中华职业学校一年，但因经济困难而失学。此后便在父亲的杂货店内助理店务，这其间，华罗庚并没有荒废学业，而是开始走上艰苦的自学道路。有时为解决一个难题，要花一个多月的时间，常常夜里醒来继续想问题，有所得时便起床点灯写算，从没松劲。
1929年，十九岁的华罗庚就在当时科学杂志上发表了关于用矩阵方法研究代数中施斗姆函数的问题的论文。这文章恰好被当时清华大学教授、我国数学界老前辈熊庆来先生看到，后径顾恺之先生介绍，熊庆来认识了华罗庚，并多方设法让华罗庚进清华大学，但因校方不同意，只好在图书馆当助理员。在清华大学期间，他旁听了数学系的所有课程，利用图书馆的优越条件，看了许多书并学习了英、法、德、俄四门外语。在熊庆来先生的个别指导下，华罗庚勤奋刻苦，学习成绩优异。这期间，华罗庚写了一些论文，分别在日本、印度和英、美的有关数学杂志上发表，其时华罗庚不过才25岁。在清华大学五年，他由助理员升为助教，后又升为讲师，并得到文化基金会的奖金。
1936年，华罗庚与陈省身、许宝禄、吴新谋等被中华文化基金委员会保送出国留学。华罗庚前往英国，他在剑桥大学不办理入学注册手续，住在校外，只作为一名旁听生参加学习。两年中他约听了十门课，写了近二十篇论文。在这时期中，华罗庚主要研究数论，特别是研究苏联数学家维诺格拉多夫的“三角和”方法，并有的成就。在剑桥时，他认为主要在于学习知识，而不是为了争学位，因此他只作为旁听生。假如他能办理入学手续，想来必然会得博十学位。
1938年抗战期间，华罗庚由英国回到设在昆明的西南联大任教授。1940年著了有名的《堆垒素数论》一书，该书送到苏联，得到维诺格拉多夫的赞赏。1946年被译成俄文出版。而在我国，当时政府不重视科学和科学家，出版社竟把他的手稿丢失。直到解放后才由华罗庚的学生将俄文译成中文出版。
1946年苏联对外文协会请他去苏联访问，他感受很深，开了第一次眼界，看到了苏联共产党和政府对科学家的关怀爱护。
1946年秋天，华罗庚到美国讲学，后又到美国海军研究所、普林斯敦数学研究所工作，开始研究多复变函数数论。
1950年的元旦献词使华罗庚深受感动，他看到祖国的新生，便毅然决定回国。1950年2月，他带了家属回到了新中国，这是祖国解放后第一个回国的科学家，他受到了党和政储以及全国人民的热烈欢迎。
回国后，华罗庚教授便从事数学研究，并任数学研究所所长，中国数学会理事长。1954年当选为全国第一届人代会代表。1956年6月当选为全国人代会常委，民盟总部文教委员会副主席，1958年被任命为中国科技大学副校长。
三十多年来，华罗庚教授成果累累，所著论文和书藉数量繁多，涉及到数论、代数学、函数论、几何学等数学的众多分支。可称为我国数学界“多产”数学家。他著的《典型域上的多元复变函数论》曾荣获中国科学院1956年度一等科学奖金。
华罗庚教授非常重视和努力培养祖国的新生力量，我国著名的数学家王元、万哲先、陆启铿等均出华罗庚门下。此外，华办庚教授还很关心大中学校的数学教育，1957年，北京举行我国有史以来的第一届数学竞赛，他亲任竞赛委员会主席，并为中学生做了好几场报告，亲自参予命题工作。华罗庚对“科学大众”记者说：“我始终不曾为没有进入大学而后悔，相反地，我认为占到了很大的便宜——因为自学使我早就培养了独立思考的能力。学习是一生的事情呀！主要应当依靠自己的努力和刻苦的精神。”
华罗庚教授所走过的道路颇带有“伟奇式”的色彩，因此也为全国传为佳话。但这在旧社会，毕竟不多。今天，我们和长在向四化进军的伟大时期，每个人的聪明才智都能得到充分发挥，正和华罗庚教授所说的“在新社会里，优越的社会制度保证了每个人的工作，生活和前途。不论体力的，脑力的，只要热爱劳动，刻苦钻研，要求进步，卓有成效，没有不受人民的欢迎和爱戴的” 。
6．毕达哥拉斯（Pythagoras）
毕达哥拉斯在公元前580到568之间生于今天土耳其西岸一个小岛撒摩斯岛上，传说毕达哥拉斯在年青时代游历过许多地方，曾到埃及留学过，也曾随商队经过小亚细亚深入巴比伦，甚至说他还到过印度。他似乎到了各处都点滴地 集当地人民的数学、天文和技术知识。消退他回到自己的故乡撒摩斯岛后，因所获得的知识使自己的同胞大为惊讶，以致把他认为是个“半仙”。
毕达哥拉斯回到撒摩斯岛后，把贵族家庭中的年青人召含有在自己的周围，和他们进行秘密谈话的掩盖下，会开成一种反对他的阴谋，便派遣自己的亲信监视他们。毕达哥拉斯被这种行为所激怒，便离开了撒摩斯岛，迁居意大利的希腊城市克洛顿。
毕达哥拉斯非常重视数学，企图用数来解释一切，毕达哥拉斯学派不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。这个学派有一种习惯，就是把一切的发明都归功学派的领袖，而且常常是秘而不宣的，后人很难知道究竟是谁在什么时候发明的，这使得毕达哥拉斯的名字跟许许多多形形色色的故事联系起来，带上一些传奇的色彩。
毕达哥拉斯本人，据说在发现今人所共知的“毕达哥拉斯定理”时，兴高采烈，宰了一百头牛来祭掌管文艺、科学的女神缪斯，以酬谢神的默示。因此这个定理在中世纪也叫做“百牛大祭”。可惜的是毕达哥拉斯关于这个定理的证明现已失传，目前多采用的面积证法是来自欧几里得《几何原本》卷1的47题。这是欧几里得首先给出的。
“毕达哥拉斯定理”就是“勾股定量”。这在毕达哥拉斯年代前（约公元前1100年）我国周朝大夫商高就知道了用3:4:5的办法来构成直角三角形，至于他是否知道普遍的勾股定理，尚缺足够的证据，但到了公元前约700-600年时，我国的陈子就已能十分熟练地运用普遍的公勾股定理了，所以我们也叫“商高定理”或“陈子定理”。早于毕达哥拉斯的古代巴比伦人也知道了勾股定理。但是，为什么外国人却一直称为毕达哥拉斯定理，还有待于进一步考证。
毕达哥拉斯到克洛顿城后，遇上了贵族跟人民夺取城市政权的斗争。当时没有人能够在哲学上提出城市政权必须移交给贵族的根据，毕达哥拉斯提出他的看法，认为城市“由‘普通人’来决定一切的、对古代制度不尊敬的城市，必然会遭到灾难。”他的学说被利用，他的门生也越来越多，这些门生结成了同盟，在同盟里，纪律、服从和先生的决定高于一切。“友谊同盟”不仅是从事科研的团体，也是梦想从人民手中攫取政权的那些志同道合者的政治同盟，他们还想在别的城市也建立这种同盟。但是，随着时间的推移，不满贵族统治和毕达哥拉斯门生的同盟的情绪也日益增多，终于在一天夜里，愤怒的人民群众包围了毕达哥拉斯门生集会的房子，并消灭了他们。而毕达哥拉斯恰好在这天白逃离克洛顿，跑到了麦塔逢坦，但也没能逃脱人民的展示怒，这个九十岁的老人最后被杀死在一次夜战中，死时约灶公元前501年或500年。
我们不同意作为贵族的毕达哥拉斯政治观点，但是我们还是尊敬作为学者的毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯和他的学派创立了数论；他们奠定了左究比例和级数的希腊代数基础。在几何学里，除了用他名字命名的定理以外，正多边形的学说、三角形和多边形各角和不定期理也是毕达哥拉斯创立的。此外，对于无公度线段的发现，也应当归功于毕达哥拉斯的门生。毕达哥拉斯的天文观点也远远走在时代的前面。
7．欧几里得（Euclid）
(约公元前330-275)
古代希腊数学家发展的历史可分为三个时期：第一期从爱奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约当公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元146年希腊被罗马攻陷为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期。欧几里得是亚历山大前期的第一个大数学家。
关于欧几里得的生平，现在知道的很少。大概也早年在雅典受过教育，深知柏拉图的几何学，公元前300年左右，在托勒密王的邀请下来到亚历山大城教学，欧几里得是一个温良敦厚的教育家，对愿意献身数学研究的人，总是循循头号诱，但他反对在学习上不肯刻苦钻研，投机取朽的作风，也反对急功近利的狭隘实用观点。有一个故事说，一个青年学生，才开始学第一个命题，就问欧几里得，他学了几何学之后将得到什么，欧几里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利。”
欧几里得写过不少数学、物理的著作，但最重要的是他的巨著《几何原本》。自从公元前七世纪以来，希腊几何集中了非常丰富的材料，但是怎样把它们整理在严密的罗辑系统中，却是一个十分艰巨的任务。从公元前五世纪以来，就有许多学者做过这样的工作，但当欧几里得的《几何原本》出现后，这些工作都湮没无闻了。
《几何原本》的伟大历史意义在于它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。《几何原本》仅次于圣经，从来还没有一种科学书藉，象它那样巩固而长期地成为广大学生所似诵的读物。从1482年到19世纪末，《几何原本》的印刷本竟用各种文字出了一千版以上，在这以前，它的手抄本统御几何学就达一千八百多年。欧几里得的影响是这样的深远，以致欧几里得和“几何学”变成了同义语。我国最早的《几何原本》的译本是1607年利玛窦与徐光启译的前6卷及1857年伟烈亚力、李善兰合译的后9卷。在这以前，元朝时实际上已有该书的译本了，可惜没有传下来。
《几何原本》第一卷给出了欧几里得几何学的基本概念、定义、公理等等，第二卷论面积和变换；第三卷讨论圆及其有关的图形；第四卷讨论多边形及圆与正多边菜的作图。第五、六卷讨论比例及用它研究相似形；第七卷是研究数论。第八卷讲连比例，第九卷也是数论，第十卷主要研究不可通约量的理论；第十一卷是立体几何；第十二卷利用“穷竭法”证明圆面积的比等于半径平方的比、球体积的比等于半径立方的比等。第十三卷讨论正多边面体。
第一卷中就叙述了后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”。后人为这公理打了二千多年的笔墨官司，最后引出非欧几何才算完结。
13世纪英国学者培根（Roger Bacon）在他的书中说，牛津大学的学生，能够细心钻左《欧几里得》（《几何原本》的简称）卷Ⅰ第3、4命题以后各命题的已寥寥无几，因此第五个命题被称为“一群废物”，后来又叫做“笨蛋的难关”。现在我们教科书中证明勾股定理的那种为大家所熟知的面积证法，就是来自《几何原本》卷Ⅰ的第47题，是欧几进而得首先给出的。
8．牛顿（Newton, Isaac）
(1642-1727)
亚历山大·波普写到自然和自然规律沉浸在一片黑暗之中上帝道：“牛顿出世了！于是，一切都变星明朗起来。伊萨克·牛顿于1642年圣诞节生于英格兰东海岸中部林肯州的格朗达姆镇东南约13公里的乌尔索浦小村子里。他的父样是一个农民，在牛顿出生前就去世了。牛顿是个不足月的早产儿，出生后十分衰弱，分妈妈说一夸脱（约一公厅）的杯子就装得下他。两个到附近为这婴儿取药的妇女心想等不到回来他就会死的。然而，他竟度过了危险期，而且一生并没有患过什么严重的疾病，晚年时身体还非常健康。他一生只掉了一只牙，从来没有戴过眼镜。头妇虽然三十岁就开始变白，但到老了也没有脱落。他一直活到了84岁高龄，1727年3月20日凌晨一时许在伦敦的肯星顿区于睡眠中安静地逝世。死后葬于伦敦西部著名的西敏寺。临终时，他很谦逊地说：“我不知道世人对我怎样看法，我只觉得自己好象是在海滨游戏的孩子，有时为找到光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴，而真理的海洋仍然在我的面前未被发现。”他还说：“如果我所见的比笛卡儿远一点，那是因为我站大巨人们肩上折缘故。
由于父亲的去世，换育牛顿的重担便全部落在他母亲罕娜的肩上，牛顿三岁时，母亲改嫁给一个名叫巴拿马·史密斯的牧师，并搬到他那里去住。小牛顿由外祖母艾斯库和舅舅詹姆斯抚养。在附近村庄斯吉林登和斯托克两个很小的走读学校学会了写字、读书和简单的算术。12岁那年，他进入了格兰达姆文科中学，在那里读了四年。
起先，牛顿对功课没有兴趣，成绩低劣，被同学瞧不起。有一天，一个横蛮无理的同学欺侮他，一脚踢在他的肚子上，那个同学的学业也一向在牛顿之上。牛顿在肉体上和精神上都受到及大的痛苦，在这种刺激之下，牛顿回击了对手，直到他把对手的鼻子按在墙上擦后才罢休。于是他悟出了学问的事情也不过如此，从这以后，牛顿发愤图强，不久成绩便超过欺侮过他的那个同学，在全班中名列前茅。
牛顿的后父于1656年去世，母亲带着第二次婚后生的三个孩子回到故乡乌尔索浦，由于生活困难，她下决心让快长大成人的14岁牛顿在庄园里干活。但这时牛顿已完全给学习“迷住了”，对农活毫无兴趣，多亏格兰达姆中学校长斯托克先生和舅舅爱斯库帮忙，认为牛顿应当深造。他母亲让了步。1660年秋天牛回到格兰达姆，准备考大学。
关于牛顿童年和少年时代的生活，记载很多。由于这些记载的材料正是牛顿变成著名学者的转折时刻，因此可能夹杂着一些传闻。但是我们可以把这些记载看成时真实的，因为它既包含着牛顿少年时的形象，也可以激励今人向他学习。
据说牛顿不喜欢和那些打打闹闹的孩子们在一起，他有着自己的特殊爱好随着年岁的增长，越来越爱好发明，而且日益带有科学实验性，并能持之以恒。他试做过一架木制时钟，仿制过风车模型，还试着测量它的能量有多大。牛顿还有着出众的绘画才能，他不仅能绘制精确的技术图祥，而且也能用木炭出色地画出花卉和动物。据说，有一次他去放羊，他们舅舅在灌木丛中找到他，他正在埋头读书，而羊群早已跑得无影无踪。
总之，牛顿并不是一个天生的神童，但是他对奋斗的目标有着坚定的信念，对自然科学问题有着广泛的兴趣，这为他以后的成长打下了基础。
1661年6月，牛顿以优异的成绩考入了剑桥大学三一学院，母校校长斯托克先生双父亲般的骄傲把牛顿列为学校高材生，特别召开了大会，眼中闪着泪花，向全体学生赞扬牛顿的性格和才华。
牛顿家境困难，在剑桥大学是减费生，要从事一定的勤杂劳动，以减免学费，在数学和自然科学方面，牛顿以他对尖端成有着快得出奇的理解能力，引起了他的老师巴罗教授的注意。在巴罗教授的指导下，牛顿逐步地掌握了笛卡儿的《几何学》、开普勒的光学和巴罗的《讲义》。他特别爱好瓦里斯的《无穷小算术》，瓦里斯曲线
1664年，牛顿取得了学士学位，同时被巴罗选为助手。1665年伦敦鼠疫发生，8月份，剑桥大学被迫停学，牛顿躲回了故乡乌尔索浦。在这以前，牛顿已了解到当时科学发展的主要方向，现在，他在与世隔绝的故乡终日思考各种问题，光学、数学、万有引力定律、化学、自然哲学成了他主要研究对象，牛顿平生的三大发明：流数术（微积分）、万有引力和光的分析，都超始于1665-1667年间，这时他才二十三、四岁。
牛顿的那个家喻户晓的轶事也是发生在乌尔索浦时期：牛顿坐在一棵苹果树下思考地球的引力问题，突然一个苹果从树上掉下来，使他想到地球和苹果是互相吸引的，整个于宙有一个万有引力作用着，从而妇现了万有引力定律。
初看这个故事不能令人信服。但是，我们应该知道，这个轶事取材于真正的史实——万有引田径定律的研究——并发展成为文学佳谈。这一传说是由牛顿的外甥女卡特林·巴顿告诉给法国启蒙哲学家伏尔泰，并受到伏尔泰的重视。伏尔泰国借肋这个传说在欧洲大陆大力宣传近代自然科学。后来伏尔泰的女友、受过高等教育的二·夏特勒侯爵夫人把牛顿的而在欧洲大陆引起了巨大的反响。英国人很重视这苹果的故事，后来那棵树倒了，便砍成若干段，作为珍贵的纪念品保存起来。
牛顿于1667年复活节前后，因瘟疫期过去了而重返剑桥大学，同年秋天被选为“选修课研究员”而成为大学教师。此后，牛顿便青云直上，1668年3月被任为“主修课研究员”。同年被授于硕士衔，一年后，成为数学教授，这是由于他的老师巴罗坦然地宣称牛顿的学识已经超过自己，把“路卡斯教授”的职位让给牛顿的。巴罗教授曾给牛顿指明了攀登科学高峰的方向，后来又为牛顿的晋升辞去职位来创造条件，一时传为佳话，当时牛顿才26岁。现在三一学院牛顿雕象之北，立有巴罗的雕象，为后世所景仰。
在数学方面，牛顿划时代的贡献是发明了微积分。1665年5月20日牛顿的手稿中开始有“流数术”的记载。微积分的始创，不妨以这一天为标志。
“流数术”长久没有人知道，一直到1687年牛顿财以几何的形式搞记在他的巨著《自然哲学的数学原理》中，实际上，1672年牛顿已成一部书《流数和无穷极数法》，但此书一直拖到牛顿去世后的1736年才出版。
牛顿和莱布尼慈及双方的拥护者为了微积分的最先发明权进行过激烈的争论，我们不想谈这场争论中的细节以及夹杂着的民族主义情绪，就学术上而言，可以认为在数学物理上，由于牛顿把运动学的思想结合进去，他的造诣比莱布屁慈要高些，而莱布尼慈则在表达上更为恰当些，更易懂些。就优先权而言，牛顿要比莱布尼慈先发明流数术，而莱布尼慈的微积分学主要部出版时间要比牛顿早。当然，牛顿和莱布尼慈各自独立地发明了微积分，在今天已成为定论。
在光学方面牛顿用三棱镜，于1666年进行了有名的色散现象实验，将白光分解成七种颜色。1668年，他为了避免折射望远镜的色象差，发明并亲手制作了第一架反射望镜。仅此一项。就足以使牛顿名垂青史。他在光学上还何等了很多工作，不幸的是1692年房子失火，烧尽了分二十年来光学研究的手稿。
1696年牛顿五十三岁，这时他被任命为造币厂监督，1699年成为厂长。1703年被选为皇家学会主席，直到1727年逝世。1705年被安娜女王封为爵士。
牛顿的晚年，大约占他一生的三分之一时间都致力于哲学和公务，对科学贡献甚少，不过他的数学思想仍十分敏锐，1696年，约翰·贝努里拟定了两个题目向全欧洲数学学家挑战，其中一个便是有名的“最速降线”问题。六个月过去了，全欧洲数学家都挫败了，于是问题双重新提出来，1697年1月29日，牛顿从朋友那里听到这个消息，那天他正从造币厂回来，非常疲倦，但是，吃完饭，便把两个问题都解决了，后来他把文章隐去姓名寄给皇家学会。当幅贝努里看到这个解答时，惊叫道：“啊！我认出了狮子用它的巨爪。
牛顿终射击没有结婚，晚年，由他的外甥女巴顿帮他料理家务。传说有人让牛顿和一位年轻妇女幽会。但牛顿的漫不经心使得计划破产了，因为他不是把这个年轻妇女的手拉到唇边亲吻，而是把她的小手指塞进他那点燃着火的烟斗里去！
牛顿在自然科学史上占有独特地位。没有哪个人象牛顿那样，给整整两个多世纪的自然科学内容和结构打上自己的烙印。他继续并完成了十六世纪和下七世纪由他先辈所领导的科学革命。正如他所说的“站在巨人的肩上，所以才能比这些巨人看得远些”，这些巨人就是哥白尼、伽利略、开普勒、惠更斯、笛卡儿、费尔马和波义耳以及他的老师巴罗。
尽管牛顿的特殊的微积分形式，即流数术，在他还在世的时候，就因莱布尼慈的微积分远比牛顿的简明易懂，使用方便而被排挤掉了，也不管牛顿的物理学已被扬弃在今天的现代物理学中，但是我们应当象伟大的爱因斯坦指出的那样：“想起他，就会想起他的著作。因为象牛顿这样一个人，只有把他看作是寻求永恒真理的斗士，才能理解他……。”
9．欧拉（Euler, Leonhard）
(1707-1783)
欧拉是一位十八世纪最多产的数学家。1707年4月15日生于瑞士巴尔塞，父亲是一位基督教加尔文派教长，对数学颇有研究，成了欧拉的第一个数学教师。还在中学时代，欧拉一有空就到大学里认真地听数学课，他的数学天才很快就被当时著名的数学家约翰·贝努里发现了，因此，贝努里破例地单独给他讲课，让他独立研究大数学家的著作。
1723年，十六岁的欧拉就取得了巴尔塞大学的硕士学位。因为他父亲的关系，欧拉学习了一段神学和古欧洲语。可为时不久后，他就在贝努的指导下专门学习数学。这时，他认识了贝努里的两个儿子——尼古拉和丹尼尔。
1725年，彼德大帝的遗孀卡德琳娜一世在彼得堡建立了彼得堡科学院，年青的尼古拉和丹尼尔被聘为教授，他们邀请欧拉同去，欧拉认为这是一个很好的机会，于是就放弃了巴塞尔的物理讲座的职位，接受贝努里兄弟的邀请，于1727年到彼得堡科学院担任数学助教，这时，他才20岁。
到彼得堡不久，欧拉就在“科学院论丛”上发表论文，这使得他在当时最有名望的数学家中享有声誉。1733年，因丹尼尔去职，他就代任为大学教授。这个时期数学正起着根本的变化，即古代的综合几何正向无穷小量分析过渡，数学创造得到蓬勃发展。欧拉在彼得堡科学院中度过了他一生中大部分的时光。为了试图制定一种定时系统，欧拉长期不息地观测太阳，致使他的右眼在278岁时就失明了。
今天，每一个小学生都知道圆周率是用符号
同样，又是欧拉第一个在1777年引入符号“i”来表示一种新数——虚数单位，此后，这个符号就被广泛采用了。这样，我们今天才能很方便地写出
还是欧拉引用了“e”作自然对数的底：用f ( )作函数的符号，等等。
1741年，欧拉接受普鲁士国王菲烈得里克二世的邀请到柏林，继承达朗贝尔的讲席并领导和整顿腐败的柏林科学院。那时欧拉已在俄国居住了十六年。欧拉虽然身要柏林，但仍担任彼得堡科学院院士，并积极参加科学院的各项活动。每年总把许多笔记和大型著作寄给“科学院论丛”。那时，彼得堡科学院院士哥德巴赫正在研究把任何数表示成几个质数的和的问题。哥德巴赫发现，总可以把任何一个数分解成不超过三个质数和。但他不能证明这个命题，甚至找不到证明它的方法，于是，他写信全告诉欧拉这件事。在1742年6月7日的信中，哥德巴赫告诉欧拉，他想冒险发表下面的假定；“大于五的任何数，是三个质数的和”。欧拉回信说：他认为“每一个偶数都是两个质数的和”这论断是一个完全正角的定理。显然，哥德巴赫的断语就是欧拉这论断的简单推论。然而，欧拉也不能证明它。这就是著名的哥德巴赫猜想。
欧拉在柏林住了25年，终因与普鲁士国王相处不甚融洽，故于1766年应卡德琳娜二世的邀请，返回彼得堡式作。在柏林期间欧拉写了几百篇认文，特别是应用数学方面的居多。这些著作还包括“分析引论”，“变分学”，“月亮理论”等巨著。
欧拉是一个空前多产的作家，就在他返回彼得堡这一年，他的另一只眼睛也终一失明了，但这几乎不能阻挡和减缓他的写作速度。他有着非凡的记忆力，可以记住整整几黑板的演算。从又目失明的1766年到他逝世的1783年期间内，欧拉又发表了几百篇论文及有关纯数学和应用数学各方面的问题的十部巨著。
欧交接班的论证推理周密严谨。他曾将自己所走过的弯路编列成册，以为后车之鉴。足见欧拉堪称后世之良师益友。
伟大的欧拉，其丰富的生活，不在于他的外表的表现，而在于他令人惊异的空前无比的创造发明工作。他的一生写了865种著作，其中以实际问题与纯数学问题的论述为多。尤其是他在微分学、积分学、微分方程和解析几何等方面进行了十分成效的工作；在代数、微分几何和球面几何方面也做了很多工作。欧拉还建立了一些新的数学分支。完全可以说欧拉是数学的各方面的专家。他的论著连同杂著，后人收集起来，共达四十五巨册，仅目录就有五十一页，让印刷出版界足足忙了三十五年之久，其中由于卷帙浩繁，1909年，瑞士自然科学协会募集捐款瑞币十万弗，次第刊行，但印至中途，由于经费告罄而停版，后又组织一个专门刊印欧拉全集的公司，方始告成。由此可以想象欧拉学问渊博的程度！
值得提到的是欧拉的课本平息了当即时在代数和微积分中符号的混乱。由于他研究的内容遍及娄学的各个分支，以欧拉名字命名的定理、公式不胜枚举。后来的大数学家们常感佩欧拉对他们的“恩赐”，法国科学泰斗拉普拉斯常常告诉年轻的数学家们“读读欧拉，这是我们一切人的老师”。高斯更说：“欧拉的工作的研究，将仍旧是对于数学不同范围的最好的学校，并且没有任何别的可以代替它”。
欧拉在1768年出版过一本极为成功的科普读物，这本书一连发行了九十年之久。在他逝世前不久，还在研究着某个与气球飞行有关的数学问题。
1783年9月18日，欧拉休息时，正跟他五岁的孙子逗着玩，突然感到一阵不舒服，于是就“停止了计算，结束了生命”，一代巨匠安然离开了人间。
10．高斯（Gauss, Friedrich）
(1777-1855)
誉为“数学王子”的德国数学家卡尔·费里德利赫·高斯17777年4月30日和于德国的布拉温什维格一个装水管工人家里。他的祖父是农民，父亲除了从事园艺工作外，也当过各种各样的杂工，如护堤员、建筑工等等。父亲由于贫穷，本身没有受过什么教育。
母亲在三十四岁时才结婚，三十五岁生下了高斯，她是一名石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，他手巧心灵，是当地出名的织绸能手。他很照顾高斯，有机会就教育他，把他所知道的一些知识传授给他。
高斯在晚年很喜欢对自己的小孙儿讲述自己小时候的故事。他说他在还不会讲话时，就已经学会计算了。他不到三岁时，有一天他观看父亲在计算受他管辖的工人们的周薪。父亲在喃喃的计娄，最后长叹一声表示总算把钱算出来。父亲念出数字准备写下时，小高斯说“爸爸！算错了，钱应该是这样……”父亲惊奇了，只好再算一次，果然小高斯是正确的。奇特的是没有人教他，只是他从平日观察中而自觉会的。小高斯10岁在小学念书时，有一次算术老师要求全班同学算出以下的算式：
1+2+3+4+……+98+99+100=？
在老师把问题讲完不久，他就在小石板上端端正正地写下答案5050。这故事说明了小高斯有很快的计算能力。
高斯的家里很穷，在冬天晚上吃完饭后，父亲就要高斯上床睡觉，这样可以节省燃料和灯油。高斯很喜欢读书，他往往带了一棵芜菁上他的顶楼去，他把芜菁当中挖空，塞进用粗棉卷成的灯心，用一些油脂当烛油，于是就在这发出微弱北灯光下，专心地看书。
高斯的算林老师，本来对学生态度不好，他常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。现在发现了“神童”，他很高兴，但却惭愧感到自己懂得的数学不多，不能满足高斯的需要。他到城里买到一本数学书给高斯，他俩相差十岁的师生一起讨论书里的内容，建立了深厚的感情。
他十一岁时就发现了二项式定理的一般情况，当他还是小学生时，就对这无穷问题开始注意了。有一天高斯一面走一面全神贯注地看书，不知不觉走进了布仑斯维克宫的庭园。这时公爵夫人看到这小孩子那么喜欢读书，于是就和他交谈，发现他完全明白书中深奥的内容。后来费迪南公爵很喜欢高斯，尝识他的才能，决定资助他去念中学和大学，接受高等教育。
为此，高斯15岁进入一间著保学院，在那里他学习了古代和现代语言，同时对高数作了研究。这时他的一位老师巴尔铁里斯（后来是罗巴切夫斯基的老师）发现了他的天才以后，就开始同他共同研读各种数学书籍，并将一些更复杂的理论介绍给他。高斯潜心研究了牛顿、拉格朗日、欧拉等人的作品，对牛顿他十分敬佩，并很快掌握了他的微积分理论。
1795年，他离家到了哥根庭大学念书，那里的数学存书吸引了高斯，虽然当地数学教学水平很低，但学习风气浓厚，主要是靠从事独立钻研，因而，在大学期间他就有一些重要的数学发现，例如，他在1795年，研究出了“最小二乘法”。
1796年高斯圆满地证出：若正多边形的边数是素数时，那么只要它的边数n是：
⑴
⑵
高斯完成正十七边形作图问题的一星期后，双做出了另一个卓越的发现——数认基本定理之一《相关平方律》的第一个证明，的来又给出了七个证明。从1796年起高斯创作上是多产时期。在这以后5年之内，他在数论，代数，微积分上都有很珍贵的发现。
1797年高斯给出代数基本定理的第一个证明（后又给出了四个不同的证明）。即：任何一个系数为复数的一个变量的代数方程都至少有一个根。从它可以推出：“一个n次代数方程必有且仅有n个根”，由此定理的证明，告诉我们无须把复数域扩充了，复数域是代数封闭和的。由于这项成就，1799年高斯在黑伦史太德得到了博士学位。
此后，高斯继续研究一些极重要的数学问题，范围非常广泛，包括概率论，复整数的引入及级数理论等极出色的研究，高斯对数学的各部门都作出贡献，因此，他的工作不久就带了世界声望，被誉称为“数学王子”。
此外，高斯在天文学，测地学及物理学上都有些重大发现。例如1801年他根据三次充分观测研究出确定谷女星的轨道的新方法，以后，24岁的高斯给出了这个数学问题原则上的解决。由此发现，给高斯带来了声望。1807年，他被邀请任哥庭根天文台台长的重职，同时在该大学任数学、天文学的教授，在那里一直工作到逝世前。
高斯将自己一生中的十年时期献给了测地学中各种问题的研究。对于高等几何学，他探讨出任意曲面上几何研究的一般方法。他的曲面理论思想是多元黎曼几何的基础尤其是对相对对论的发展起重大作用。
1830-1840年高斯从事理论物理的研究，同德国物理学家威别尔共创电磁单位的绝对体系。1837年设创一架电话机。1853年奠定了世界第一所磁性天文台。不久，发表他的《地磁概论》巨著。在他活着时，他的很多研究没有发表。在他死后，在他的草稿和草图、日记中才发现了这些著作。其中最引人入胜的是那非欧几何的草稿，但他生怕习惯于传达室统的欧几里得几何的人们的反对，不敢发表。
高斯对自己的工作是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。以致美国著名数学家贝尔在他著的《数学工作者》一书里曾经这样批评高斯：“在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世纪的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他地方去”。
高斯的生活很简朴，他并不太注意物质的享受。他的一个好朋友描述他的生活：“就象他年青一样，高斯从老至去世还是那个简仆的高斯。一个小工作室，一张有绿色桌布的小桌子，一张漆白色的直立书桌，一张狭沙发，在他七十岁后才增添一张扶椅，不明亮的灯，没有温暖设图示的睡房，平淡的食物，一条睡袍及紫色的睡帽，这就是他全部需要的东西。
高斯还喜欢学新的语言，他六十二岁时，在没有任何人帮助下自学俄语文两年内就能顺利地读俄国的作家和诗人的散文诗歌及小说，并在1802年为俄通讯院士。1824年被选为彼得堡科学院的外国院士。
高斯的妻子很不幸，在结婚四年后病死了，留下三个儿女，据说在她病重时高斯正在研究很深奥的问题。仆人匆匆忙忙告诉他，夫人病得愈来愈重了。高斯好象听到，柯他却继续工作。过了不久，仆人又跑来，高斯回答：“我就来！”可是仍旧坐在那里沉思，仆人第三次现跑来通知高斯说：“夫人快死了，如果您不马上去，就不能见刀子最后一面了！”高斯抬头冷静的回答：“叫她等一下，等到我过去。”这种心无旁鹜的工作精神，真是人少有的。在德国慕尼黑的博物馆有一幅高斯的油画像，下面的字很贴切地说明他的成就：“他的思想深入数字，空间，自然的最秘密；他测量星星的路径，地球的形状和自然力；他推动了下个世纪的数学进展。”
这位杰出的数学家于1855年2月22日与世长辞了。但他的卓越思想仍是近代数学和物理学的有力武器。
11．韦达（Vieta, Francis）
(1540-1603)
韦达生于1540年，是法国的数学家，有“代数之父”之称。他的专业是律师工作，曾以此身份在布列塔尼议会里工作过。从1584年开始，他致力于数学研究。但总的说来，韦达是把数学当作业余爱好，还曾自己出资印刷和发行他的著作，正如一个作家所说，这办法使他不致于默默无名。
韦达对数学符号做了很多改进，有着重大贡献，他的学术成就使他获得教授的职称。韦达的家乡，人们为了纪念他，于1646年曾上演出描写他生平的歌剧《韦达》。
韦达在代数方程认线书中，用字母表示了未千数值与系数，他是第一个有意识地、系统地使用字母的人。1591年，韦达在他的名著《分析方法入门》中使用拉丁文Potestas和gradus表示xm和
在三角学中，韦达给出sinnx展开成sinx的展开式。
韦达对古希腊数学也深有研究，他用直尺和圆规给出了阿波罗续斯命题的解，他还首次发现了一个能表示 值的无究乘积，即
在1579年出版的《数学曲则》一书中，他列出了各个三角函数的数值表，它与现在的三角函数表已无甚大差别。
韦达还首次使用方括号和花括号。他还曾在法国与西班牙战争中，解开了复杂的西班牙密码，并指出了它的许多变化规律。1593年在他的《各种各样的解答》一书中，给出了无穷几何级数的求和公式。
韦达逝世于1603年12月13日
12．笛卡尔（Descartes, Gene）
(1596.3-1650.2.11)
笛卡尔，是法国数学家和哲学家，解析几何的创始人。1596年3月生于法国图城，1650年2月11日死于瑞典首都斯德哥尔摩，他是和伽利略、巴斯加同时代人。笛卡尔的寿命不算长，他的文学活动也十分短促，十年多一点。但尽管如此，他的哲学观点和他在数学方面的著作，在所有现代科学方硕，都有着不可磨灭的痕迹。正如古代的柏拉图和比笛卡尔稍后些的牛顿一样，也不是专业的数学家，但我们还是应当认为他是现代数学的创始人。对于认识周围世界各方面的多样性及期不断的可变性的兴趣，在笛卡尔的意识中胜过企求解纯数学的问题，并使他在数学方面创造了一些方法，能得到广泛的总结，以表达在我们周围所进行的各种过程。
笛卡尔写道：“虽说我从小就喜欢把空闲的时间，用在解决数学问题上，但这都是些小事情，在这些小事情当中，可能，我发现了比普通数学更精确的地方；我抛弃了专门研究算术和几何，使我能献身于多方面的数学研究；在细心寻思时，我发现，一切科学，所有跟顺序和度量知识有关的都司于数学，反正是一样，它们总是要在数，图形，星座和声调里，或者在完全是另外的客体里寻求这种度量的。因此，应当有发展一切跟啧序和度量有关系的多方面的科学，完全不局限于某一种应用；这门科学更适于称做使人尊敬的数学，因为一切科学跟它有关，正如部分跟整体的关系一样。”
笛卡尔从小就没有母样，出世后不几天母亲就死了，象他母亲一样，他没有强壮的身体而是个虚弱的小孩。笛卡尔八岁时，就被送到国王享利赫四世所创办的最好的一所学校——一主教耶稣会教徒的梁佛列什学校，他在这所学校里一直待到17岁，这个学校首先是教神学，然后教学生懂得那种已经陈旧的、能和自然科学所有的东西进行斗争的哲学。幸而笛卡尔在这所学校里也学了数学，特别是他学习了耶稣会教徒克拉维乌斯的代数课本，这是一本用独特的形式和内容来反映16世纪中叶德国著名代数学家之一——施纪费易的观点的课本，在学校笛卡尔还结交了一些朋友，其中有一位叫麦尔谢姆的，后来曾不止一次地把笛卡尔从教会人士的迫害中救出来。
笛卡尔对他自己在耶稣会教徒的学校里的学习未给予很高评价，而只能使聪明的对一切深感兴趣的笛卡尔产生怀疑论，下面就是笛卡尔科学，因为我确信科学较之美好的生活对一切给予明确而又真实地认识，所以我非常勤勉地研究它。但是当我毕业时，我的见解完全改变了，我陷入了疑惑和错误的混乱状况，从我的贪婪的学习中只得到一个益处——能够越来越深刻地发现我的无知，而我是一个欧洲最出名学校的学生，我认为，如果在地球的什么地方有知识渊博的人，那末那里就应当是这样的。我学会了别人所学的一切，但我闭幕式不满足这些，我阅读了所有能得到的、自己认为最有趣而不同寻常的各种书籍。
笛卡尔一生中的求学期结束了，无论是哲学，还是与之有关的科学，都不能满足他那好钻研的头脑，至于神学更不必提了，甚至笛卡尔喜爱的数学，也不能使他满足。
为了寻求他应当遵循的道路，他学习“宇宙巨著”的时期开始了。
笛卡尔说：“除了我能够在我自己或者在‘宇宙巨著’里找到的科学之外，我决不寻求别的科学。我利用自己青年时代的其余时间到处旅行，研究宫廷里和军队中的人们，跟社会地位和性格不同的人交往， 集各种各样的经验，在预先安排的各种环境里考验我自己，对所有这一切，我都是抱着从中吸取某种益处的目的来观察的。经过几年时间研究世界书籍，努力得到不少经验以后，我决定研究我自己并竭尽全部精力来选择一条我应当遵循的道路”。
于是，一会儿在巴黎的快东青年中可以看到他；一会儿由于遇见他的朋友麦尔谢姆，他又去找孤独的居处以便完全献身于科学；一会儿他又是奥兰治毛利斯的军队的士兵。在荷兰，笛卡尔有很多闲暇时间，他开始认真地研究数学。
有一次，笛卡尔在城里的街上散步，看到了一群过路的人聚集在贴着招贴的围墙前面。他好奇地走到跟前，但是他看不懂招贴写的是什么，——笛卡尔不知道佛来米语（荷兰的日耻曼语系民族语言），这时他便找近旁的过路，请他把招贴上的内容翻译给他听，一个陌生人嘲笑地看了看这个年青的士兵，就说招贴上刊载的是解几何题的公开挑战，并说，如果笛卡尔敢于来解这个题目，他就把题目的内容也翻译出来。这位陌生人是数学教授别克曼。当第二天笛卡尔给别克曼带来了题的解法是，他是多么的惊奇。这样一来，笛卡尔就在别克曼教授的指导下开始研究数学，这工作一直延续了两年。
以后，笛卡尔为了寻求作战的经验参加了“三十年战役”的初次战斗。由于当时情况，军队流动性大，战时生活的奔波使他感到疲乏不堪而永久离开了军队。这时他才25岁。他对这段生活写道：“自然界知道的仅是数学上的初步知识，把自然界的秘密和学法则相比，我敢于希望，用同一把钥匙就能开启自然界和数学的涵意。
又旅行了四年，他终于深切感到烦琐哲学的破产，而改革科学折是必要的，于是他回国子。团结在麦尔谢姆周围的向个学者中间也有笛卡尔了。队逐渐成长为哲学家和科学家。但是当时出现了一批有势的仇人，耶稣会教徒、神学者，反对他的哲学者和威胁他的人，使他不得不离开巴黎，并在荷兰找了个幽静的地方，在这里工作了二十年。
在荷兰，笛卡尔完全专心从事科学研究和他的哲学学说的深入研究，在1629年他完成了第一部著作《理性指导规则》。在1630-1633年，笛卡尔从事《关于世界的论文》的写作，在这篇论文里反映了《哲学原理》，在这些原理里面，笛卡尔的学说得到了整个的有系统的叙述。
虽然采取了一切预防办法，但是笛卡尔的著作还是招来迷信宗教的人对他的迫害。1647年，笛卡尔的著作被判处交给迫害者的手来烧毁。
笛卡尔是新科学的创始人之一，他所建立的解析几何成为数学发展的转折点，还有他在发展机械和光学方面的贡献，使他成为17世纪伟大的自然科学家。
解析几何的发现，变量和函数的引入，使运动得以列入数学中并成为建立现代数学的主要部分——微分学和积分学作好准备；列入直角坐标系的几何图形以及理解为几何轨迹的各种点和线都有可能利用代数方程来表达，因而把解几何题转为代数解法。
笛卡尔的观点，强调科学的意义为实际进步的工具，对我们是非常重要的。“应当建立实用哲学来代替在学校里所教的思辩哲学；借助实用哲学，可以清楚地知道自然法则，就如我们知道工匠的各种手艺一样，就能够用同样的方法把它们应用到每个适合于它们的事情上。因而我们也就成为自然界的主人和所有者。”
1649年底笛卡尔应瑞典女王赫里斯金的邀请而迁居斯德歌尔摩，但就在这第一个北方的冬季，对笛卡尔虚弱的身体产生了有害的作用。使他在1650年2月就逝世了。
13．丢番图（Diophantus）
(约公元246-330)
丢番图是希腊时代代数学获得重大发展时的代表人物，曾被誉为代数学的鼻祖，他的生平事迹没有记载下来。有一本大约是4世纪时希腊诗文选集上有一首短诗（有人说是丢番图的墓志铭），用迹语的形式叙述了他的生平：
“丢番图的一生，童年占
读者只要算一算就知道丢番图活了八十四岁。
大家知道，一个或一组整系数的不定方程，如果只要求它的整数解，这不定方程习惯上就叫做“丢失番图议程”。因为丢番图是有系统地处理这类方程的先行者，不过丢番图大规模地研究不定方程，仍在我国的《九章算术》之后，也在刘徽之后。
丢番图共写了三部书，其中最出色的是《算术》。该书原有十三卷，现在只剩下六卷，这是一部伟大的著作，它在历史上的重要性，可以和欧几里得的《几何原本》一比高低。还有一部是《多角数》，另外一部已经失传。
丢番图的《算术》是讲数的理论，不过大部分的内容可以划入代数范围内。丢番图的特点是完全脱离几何的形式，在希腊的数学中独树一帜，与欧几里得时代的经典大不一样。
丢番图虽然已经知道符号的运算法则：减号乘减号得加号（即负数乘负数得正数）等等。但他解方程时却只限于正根，如果负根出现，便认为这方程是不合理的。所以丢番图总是小心选择方程的系数，使所得的方程的根是正数。解二次方程时，即使两根都是正的，他也只取一根，在《算术》这本书中，还可以看到特殊的三次方程，猜想在已失传的部分中还有进一步的论述。
丢番图在处理
丢番图并不知道除法运算，象许多古代著作一样，缺乏商的概念，那时除法是累减法来进行的。
丢番图的另一个重要贡献，是用字母来表示未知数和一些运算，这是近世符号代数的最初萌芽。
14．阿贝尔（Abel, Niels Henrik）
(1802-1829)
阿贝尔是十九世纪挪威的天才数学家。他一生在贫困的环境中挣扎，在生之日希望能有一个固定的职业使他能安定生活和做研究，并希望能和他喜爱的一个女郎结婚。可是命运象是要和他做对，他所希望的东西全落空，最后肺病夺去了他的生命，死时才二十六岁！
阿贝尔于1802年8月5日生于挪威芬杜小乡村的一个穷牧师家里，家里有七个兄弟 妹，阿贝尔热电厂行第二，小时和哥哥都由他父亲教导识字，小学教育基本上是由父亲完成因为他们没有钱象其他人那样请家庭教师来教。
十三岁时，他和哥哥被送到克里期汀尼亚（今称奥斯陆）市的天主教学校读书。这是一间古老的学校。一些官员把孩子送到这里读书，而且有一些奖学金给无法交学费的人，小阿贝尔也得到一些奖学金。
当阿贝尔进这间学校时，由于那里刚成立一间大学，大部到有经验的教师转到大学任教去了，学校只剩下水平较差的教师和一些新教师。在最初一、二年，他们兄弟成绩还不错，可是由于教师枯燥的教学方式和高压手段，他们兄弟的成绩下降了。1817年发生了一件事情，可说是阿贝尔一生的转折点。教数学的教师是个粗暴酒徒，经常嘲讽、体罚成绩差的学生，有个学生被严重打伤，不外便病倒死去。在许多人抗议下，这个教师被解职，改由一个比阿贝尔大七岁的教师洪波义代替。
洪波义学过一些纯数学，而且曾当守挪威著名天文学家汉斯汀教授的助教，对中学数学驾轻就熟。他采取让学生发挥独立的工作能力的教学方法，并且给一些适合他们的数学问题，鼓励学生们去解决。
阿贝尔在新老师的诱导下，发现数学并不象以前那样枯燥无味，学习变得积极而且主动了。第一学年末，洪波义在学生的报告书上对阿贝尔的评语是：“一个优秀的数学天才”。从此，了贝尔对数学的热忱越来越高。洪波义后来回忆到：“从这时开始阿贝尔沉迷进数学，他以惊人的热忱和速度向这门科学进军。在短期间内他学了大部分的初等数学，在他的要求下，我私人教授他高等数学。过了不久他自己读法国数学家泊松的作品，念德国数学家高斯的书，特别是拉格朗日的书。他已经开始研究几门数学分支。
小说和诗歌都吸引不了阿贝尔，他只沉缅于纯数学和应用数学的书籍中去，16岁时，他发现欧拉对二项式定理只证明有理指数的情况，于是他便给了对一般情况都成立的证明。
在中学志书的最后一年，他开始考虑当时著名的难题：五次方程的一般解问题。
大家知道，一元二次方程的二个根可以用今天中学生都知道的“求根公式“来求出。一元三次方程和四次方程的根也可以用公式来表示，这已被数学家卡当和费勒里解决了。可是，以后几百年来，数学家都企图寻求一元五次或更高次方程的“求根公式”，希望通过这个公式，把根用系数经加减乘除和开方的代数运算表示出为，但一直没有成功。
阿贝尔考虑不久远，便觉得他得到了答案。可是教师洪波义看不懂，也不知道有什么地方错，因此便拿去找教授看，结果也没有人了解他的东西。当时北欧只有丹麦数学水平较高于是汉斯汀教授把他的手稿寄给丹麦著名的数学家达根。教授也看不出阿贝尔论证有什么错误的地方，可是由他的经验，他知道以前的一些大数学家对这问题都解决不了这问题不会这么简单的解决出来。他要求阿贝尔用一些实际的例子来说明他的方法。在给汉斯汀教授的回信中，达根说：“就算阿贝尔的结果最后证明是错的，但也显示出他是一个有数学才能的人”。达根劝告阿贝尔研究一下椭圆积分。这个建议是诚恳的并且是有建设性的。阿贝尔后来用实了的例子来验证，证明他的发现是错误的。
洪波义本身在数学上没有什么成就，但他在科学上的贡献就是“发掘了陈贝尔的数学才能。”后来，他成为阿贝尔的忠诚的朋友，阿贝尔死后洪波义还收集出版了他的研究成果。
当阿贝尔18岁时，父亲去世最，大哥由于受到上面提到那个教师的折磨从神经衰弱变到精神不大正常，全家生活的重担全压在年青的阿贝尔身上。阿贝尔很想上大学深造，但是现在家里贫困，大学里又没有奖学金或助学金。这时，洪波义出面，希望几个教授帮忙，结果教授们和朋友们都把薪水分出一眯，凑起来给阿贝尔作为学习和生活的经济来源，阿贝尔自己还写信给当局提出要求，幸运地获得了免费的宿舍。
1823年，汉斯汀教授创办了一份新的科学杂志，阿贝尔以挪威文写了一篇关于泛函方程的文章，他的第二篇文章是考虑力学问题，研究质点在重力场作用下做曲线运动的情形。这篇文章在数学史上很重要，因为这是第一个给出积分方程的解。这年夏天，阿贝尔在一位教授的资助下到丹麦的哥本哈根，回来年，他重新考虑了一元五次方程解的问题，这次正确地解决了这问题。早在1799年意大利数学家鲁菲尼也得过这结果，但他的证明并不完整充分，而这次阿贝尔彻底解决了它，所以现在数学上把上述结果称为“阿贝尔—鲁莫尼定理”。
1825年，阿贝尔离开挪威到德国去，这期间认识了德国工程师克勒。克勒办了一种数学杂志：《纯粹和应用数学杂志》，于1826年创刊，这杂志直到今天仍然是世界著名的数学杂志。它的第一卷登了阿贝尔的五篇重要文章。他曾将5次方程不可解的小册子寄给高斯，但未能引起高斯注意，这一次遇使他没有到歌延根去。
1827年5月，阿贝尔回到奥斯陆，靠为一些学生补习功课而生活，虽然家境贫困，但阿贝尔仍然致力于研究工作，1827-1828年间，在克勒办的数学杂志上发表了有关椭圆函数性质的文章，因工作的繁重和家境的贫困，阿贝尔的身体越来越衰弱了。1828年圣诞节，阿贝尔被邀请到他未婚妻克里斯汀那里去渡假。这期间，好心的克勒为了替阿贝尔谋求一个职业而尽力奔走，终于在1828年4月8日写信告诉阿贝尔“职业是肯定有了”。但是克勒并不知道，阿贝尔三月开始病情就恶化了，4月6日，这世上少有的天才就这样怀着沉重的心情，在他未婚妻身旁离开了人间，克勒的消息来得迟了。
法国数学学家厄米特在谈到阿贝尔贡献时曾说：“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌一百五十年！这话并不算夸张。在和了贝尔同时代的一个法国少年伽罗瓦读到了阿贝尔的著作，在不到20岁的时候，就在代数方程论上作出了卓越的贡献，创立了“伽罗瓦理论”，他使阿贝尔的思想得到了更好的发展。
15．史丰收
史丰收，1956年2月23日出生于中国陕西省大荔县。
1980年毕业于中国科学技术大学数学系,现任史丰收速算法国际研究与培训中心主任、史丰收速算法研究所所长。国际速算发明家史丰收教授，从11岁开始钻研速算法，经过10年的努力，成功地打破几千年来四则运算的传统计算法，创立了能够不用计算工具、不列运算程序、从高位算起、一口报出， 正确答案的快速计算法，因而轰动海内外，获得极高的评价。史丰收教授不但受到国际学术界瞩目，亦被列为中国大陆的数学奇才。现在，他正在积极从事推广工作，“史丰收速算法国际研究与培训中心”、“史丰收速算法研究所”已在深圳正式成立，并逐步在全世界设立培训中心分部，希望这项中国人发明的智慧成果，能贡献给全人类。
史丰收，早在上小学时，他就发现传统算法的缺点，经十余年钻研，创立了快速计算法，即不用计算工具，不列运算程序，运用进位规律总结26句口诀，由高位算起，配合指算，一口报出正确答案。计算速度超过当时的手摇计算机。
1978年，史丰收破格进入中国科学技术大学，所著《快速计算法》发行2000万册。1984年出任中国快速研究所所长并多次出国讲学。史丰收快速计算法被誉为“当代应用数学的一大创举”。1990年，中国国务院将这一成果正式命名为“史丰收速算法”。1991年，“史丰收速算法国际研究与培训中心”在深圳宣告成立。
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